त्रिभुज की माध्यिका , शीर्षलंब , कोण समद्विभाजक तथा लंब समद्विभाजक का अध्धयन

✹ त्रिभुज की माध्यिका :-

किसी त्रिभुज के एक शीर्ष से उसके सामने वाली भुजा को दो समान भागों में विभाजित करने वाली रेखा त्रिभुज की माध्यिका कहलाती है ।

( आकृति 1 में )

त्रिभुज की माध्यिका के गुण तथा नियम :-

( आकृति 2 में )

1. यह त्रिभुज के किसी एक शीर्ष से होकर गुजरती है ।
2. यह सामने वाली भुजा को दो समान भागों में बांटती है ।
अर्थात् BD = DC ( आकृति 1 के अनुसार )
3. यह सामने वाली भुजा के मध्य बिंदु पर मिलती है ( आकृति 1 में बिंदु D, भुजा BC का मध्य बिंदु है )
4. यह सामने वाली भुजा पर 90 डिग्री ( समकोण ) नहीं बनाती है ।
5. त्रिभुज की एक माध्यिका त्रिभुज को दो समान भागो या क्षेत्रफलो में विभक्त करती हैं ।
ABD का क्षैत्रफल = ADC का क्षैत्रफल ( आकृति 1 के अनुसार )
6. आकृति 1 के अनुसार यदि किसी त्रिभुज ABC में AD माध्यिका है तो

AB / AC

BD / DC

होगा ।

7. आकृति 2 के अनुसार त्रिभुज के तीनो माध्यिकाएं त्रिभुज को 6 सामान भागो या क्षेत्रफल में विभक्त करती है ।
8. यदि त्रिभुज ABC में AD , BE तथा CF माध्यिकाएं हैं तब

AD + BE + CF >

AB + BC + CA / 2

( आकृति 2 के अनुसार )

त्रिभुज की माध्यिका की लंबाई : -

आकृति 1 के अनुसार यदि किसी त्रिभुज ABC में AD एक माध्यिका है तब

त्रिभुज की माध्यिका AD की लंबाई :
AB² + AC² = 2 ( AD² +

BC² / 4

) ( आकृति 2 के अनुसार )

✹ त्रिभुज के शीर्षलंब ( अभिलंब ) : -

किसी त्रिभुज के एक शीर्ष से उसके सामने वाली भुजा पर डाला गया लंब (90°) , उस त्रिभुज का शीर्षलंब कहलाता है ।

( आकृति 3 में )

त्रिभुज के शीर्षलंब ( अभिलंब ) के गुण व नियम : -

( आकृति 4 में )

1. यह त्रिभुज के किसी एक शीर्ष से होकर गुजरती है ।
2. यह सामने वाली भुजा को दो समान भागों में नहीं बांटती है ।
3. यह सामने वाली भुजा के मध्य बिंदु पर नहीं मिलती है ।
4. यह सामने वाली भुजा पर 90 डिग्री (समकोण) बनाती है परंतु मध्य बिंदु पर नहीं ।
आकृति 3 के अनुसार - ∠BDA = ∠CDA = 90°
5. त्रिभुज का एक शीर्षलंब ( अभिलंब ) त्रिभुज को दो समान भागों या क्षेत्रफलो में विभक्त नहीं करता है ।
6. त्रिभुज के तीनों शीर्षलंब त्रिभुज को 6 सामान भागों में नहीं बांटते हैं ।
7. आकृति 4 के अनुसार यदि त्रिभुज ABC में AD , BE तथा CF तीनों त्रिभुज के शीर्षलंब ( अभिलंब ) है तो
AD + BE + CF < AB + BC + CA

✹ कोण समद्विभाजक :-

वह रेखा जो किसी त्रिभुज के एक शीर्ष से होते हुए उस शीर्ष के कोण को दो बराबर भागों में बांटे उसे कोण समद्विभाजक रेखा कहते हैं ।

( आकृति 5 में )

कोण समद्विभाजक के गुण व नियम : -

1. यह रेखा त्रिभुज के किसी एक शीर्ष से होकर गुजरती है ।
2. यह जिस शीर्ष से होकर गुजरती है उस शीर्ष के कोण को दो बराबर कोणों में बांटती है ।
3. यह सामने वाली भुजा को दो बराबर भागों में नहीं बांटती है ।
4. यह सामने वाली भुजा के मध्य बिंदु पर नहीं मिलती है ।
5. यह सामने वाले भुजा पर 90 डिग्री ( समकोण ) नहीं बनाती है ।
6. त्रिभुज की एक कोण समद्विभाजक रेखा त्रिभुज को दो समान भागों में नहीं बांटती है ।
7. त्रिभुज के तीनों कोण समद्विभाजक रेखाएं त्रिभुज को 6 समान भागों में नहीं बांटती है ।
8. आकृति 5 के अनुसार त्रिभुज ABC में AM रेखा , कोण A की समद्विभाजक है तब

AB / AC

BM / MC

कोण समद्विभाजक की लंबाई :

यदि त्रिभुज ABC में AM रेखा , कोण A की समद्विभाजक है तब ( आकृति 5 के अनुसार )

कोण समद्विभाजक रेखा AM की लंबाई ( AM ) =

2 x AB x AC / AB + AC

Cos

θ / 2

✹ समकोण या लंब समद्विभाजक :

वह रेखा जो त्रिभुज की किसी रेखा पर 90° का कोण बनाने के साथ उस रेखा को दो बराबर भागों में बांटे ।

( आकृति 6 में )

लंब समद्विभाजक के गुण व नियम : -

1. यह रेखा त्रिभुज के किसी भी शीर्ष से होकर नहीं गुजरती है ।
2. यह सामने वाली भुजा को दो समान भागों में बांटती है ।
AD = BD ( आकृति 6 के अनुसार )
3. यह सामने वाली भुजा के मध्य बिंदु पर मिलती है ।
4. यह सामने वाली भुजा पर 90 डिग्री ( समकोण ) बनाती है ।
5. त्रिभुज की एक लंब समद्विभाजक रेखा त्रिभुज को दो भागों में नहीं बांटती है ।
6. त्रिभुज की तीनो लंब समद्विभाजक रेखाएं त्रिभुज को 6 समान भागों या क्षेत्रफलो में नहीं बांटती है ।

✹ त्रिभुज की माध्यिका , शीर्षलंब , कोण समद्विभाजक तथा लंब समद्विभाजक में अंतर : -

( आकृति 7 में )

आकृति 7 के त्रिभुज ABC में -
बिंदु D → भुजा BC का मध्य बिंदु
रेखा AP → शीर्ष लम्ब
रेखा AQ → कोण समद्विभाजक
रेखा AD → माध्यिका
रेखा MN → लम्ब समद्विभाजक

शीर्षलंब	लंब समद्विभाजक	कोण समद्विभाजक	माध्यिका
1. यह रेखा त्रिभुज के किसी एक शीर्ष से होकर गुजरती है ।	यह रेखा त्रिभुज के किसी एक शीर्ष से होकर नही गुजरती है ।	यह रेखा त्रिभुज के किसी एक शीर्ष से होकर गुजरती है ।	यह रेखा त्रिभुज के किसी एक शीर्ष से होकर गुजरती है ।
2. यह रेखा सामने वाली भुजा को दो बराबर भागों में नही बांटती है ।	यह रेखा सामने वाली भुजा को दो बराबर भागों में बांटती है ।	यह रेखा सामने वाली भुजा को दो बराबर भागों में नही बांटती है ।	यह रेखा सामने वाली भुजा को दो बराबर भागों में बांटती है ।
3. यह रेखा सामने वाली भुजा के मध्य बिंदु पर नही मिलती है ।	यह रेखा सामने वाली भुजा के मध्य बिंदु पर मिलती है ।	यह रेखा सामने वाली भुजा के मध्य बिंदु पर नही मिलती है ।	यह रेखा सामने वाली भुजा के मध्य बिंदु पर मिलती है ।
4. यह रेखा सामने वाली भुजा पर 90 डिग्री ( समकोण ) बनाती है ।	यह रेखा सामने वाली भुजा पर 90 डिग्री ( समकोण ) बनाती है ।	यह रेखा सामने वाली भुजा पर 90 डिग्री ( समकोण ) नही बनाती है ।	यह रेखा सामने वाली भुजा पर 90 डिग्री ( समकोण ) नही बनाती है ।
5. यह रेखा जिस शीर्ष से होकर गुजरती है उस शीर्ष के कोण को दो समान कोणों में नही बांटती है ।	यह रेखा शीर्ष से होकर नही गुजरती है	यह रेखा जिस शीर्ष से होकर गुजरती है उस शीर्ष के कोण को दो समान कोणों में बांटती है ।	यह रेखा जिस शीर्ष से होकर गुजरती है उस शीर्ष के कोण को दो समान कोणों में नही बांटती है ।
6. यह रेखा त्रिभुज को दो समान भागो या क्षेत्रफलो में विभक्त नही करती है ।	यह रेखा त्रिभुज को दो समान भागो या क्षेत्रफलो में विभक्त नही करती है ।	यह रेखा त्रिभुज को दो समान भागो या क्षेत्रफलो में विभक्त नही करती है ।	यह रेखा त्रिभुज को दो समान भागो या क्षेत्रफलो में विभक्त करती है ।

इन्हें भी पढ़े :-

1. त्रिभुज के प्रकार
2. त्रिभुज व त्रिभुज के महत्वपूर्ण गुण एवं नियम
3. चतुर्भुज के प्रकार ,उनके गुण एवं सूत्रों का अध्धयन
4. Number System Basics Formulas, Questions, Tricks

Maths Notes की Free PDF यहां से Download करें

सभी बिषयवार Free PDF यहां से Download करें

त्रिभुज की माध्यिका , शीर्षलंब , कोण समद्विभाजक तथा लंब समद्विभाजक का अध्धयन