वर्ग और वर्गमूल , भागफल विधि , अभाज्य गुणनखंड

मुख्य अवधारणाएं और परिणाम :-

1. एक प्राकृत संख्या एक पूर्ण वर्ग कहलाती है यदि वह किसी प्राकृत संख्या का वर्ग है अर्थात यदि m = n² हो , तो m एक पूर्ण वर्ग है , जहाँ m और n प्राकृत संख्याएँ है |

2. जब किसी संख्या को स्वयं उसी से गुणा किया जाए तो उससे प्राप्त संख्या उस संख्या का वर्ग कहलाती है

3. सम संख्याओ के वर्ग सम संख्याएँ होती है

4. विषम संख्या के वर्ग विषम संख्याएँ होती है

5. एक पूर्ण वर्ग ( 1 के अतिरिक्त ) को सदैव समान अभाज्य गुणनखंडो के युग्मों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

6. एक पूर्ण वर्ग की इकाई का अंक केवल 0 , 1 , 4 , 5 , 6 या 9 हो सकता है

7. उस संख्या का वर्ग जिसकी इकाई का अंक -
1 या 9 है , 1 पर समाप्त होता है
2 या 8 है , 4 पर समाप्त होता है
3 या 7 है , 9 पर समाप्त होता है
4 या 6 है , 6 पर समाप्त होता है
5 है , 5 पर समाप्त होता है

8. संख्या n और n+1 के वर्गो के बीच में 2n प्राकृत संख्याएँ है

9. वह संख्या जिसके अंत में शून्यो की संख्या विषम हो , एक पूर्ण वर्ग नही होती है

10. प्रथम n विषम प्राकृत संख्याओ का योग n² से प्राप्त होता है

11. तीन प्राकृत a,b, और c संख्याओ में , यदि a² + b² = c² हो तो कहा जाता है कि उनसे एक पाइथागोरस त्रिक बनती है

12. प्रत्येक प्राकृत संख्या m > 1 के लिए 2m , m² - 1 और m² + 1 से एक पाइथागोरस त्रिक बनती है

13. संख्या x का वर्गमूल वह संख्या है जिसका वर्ग x होता है संख्या x के धनात्मक वर्गमूल को √x से निरुपित किया जाता है

14. वर्गमूल वर्ग करने की प्रतिलोम संक्रियाएँ है

15. यदि एक पूर्ण वर्ग n अंको का है तो उसके वर्गमूल में n/2 अंक होंगे , यदि n सम है तथा ( n+1/2 ) अंक होंगे यदि n विषम है

अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा वर्गमूल ज्ञात करना :-

256 का अभाज्य गुणनखंड
256 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
अभाज्य गुणनखंड के युग्म
256 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
√256 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

6400 का अभाज्य गुणनखंड
6400 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5
अभाज्य गुणनखंड के युग्म
6400 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5
√6400 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 = 80

2352 का अभाज्य गुणनखंड
2352 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 7 x 7
अभाज्य गुणनखंड के युग्म
2352 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 7 x 7
अत: 3 का युग्म प्राप्त नही होता है इसलिए 2352 एक पूर्ण वर्ग संख्या नही है
इस संख्या को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए दोनों पक्षों में 3 से गुणा करेगे
2352 x 3 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 7 x 7
7056 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 7 x 7
√7056 = 2 x 2 x 3 x 7 = 84
2352 का सबसे छोटा गुणज 7056 है जो पूर्ण वर्ग है

भागफल विधि द्वारा वर्गमूल ज्ञात करना :-

step : 1 :- इकाई स्थान से प्रारंभ करते हुए प्रत्येक युग्म पर बार लगाइए यदि अंको की संख्या विषम है तब बाएँ तरफ एक अंक पर बार लगाइए | 5 29 इस प्रकार लिखते है |

step: 2 :- वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिसका वर्ग सबसे बाई तरफ के बार के नीचे लिखी संख्या से कम या बराबर हो ( 2² < 5 < 3² ) सबसे बाई तरफ के बार के नीचे भाज्य ( यहाँ 5 ) के साथ भाजक और भागफल के रूप में इस संख्या को लीजिए | भाग कीजिए और शेषफल ज्ञात कीजिए

step: 3 :- अगली बार के नीचे की संख्या को शेषफल के दाएं लिखिए | ( अर्थात् इस स्थिति में 29 है ) अत: अगली भाज्य 129 होगी

step: 4 :- भाजक को दुगुना कीजिए और इसे इसके दाएं में खाली स्थान के साथ लिखिए

step: 5 :- रिक्त स्थान को भरने के लिए सबसे बड़े संभावित अंक का अनुमान लगाइए जो कि भागफल में नया अंक होगा और नए भाजक को नए भागफल से गुणा करने पर गुणनफल भाज्य से कम या बराबर होगी |
इस स्थिति में 42 x 2 = 84
चूँकि 43 x 3 = 129 अत: शेषफल प्राप्त करने के लिए नया अंक 3 चुनते है

step: 6 :- क्योकि शेषफल 0 है और दी गई संख्या में कोई अंक शेष नही है , अत: √529= 23

529 का वर्गमूल 23 प्राप्त होता है √529 = 23

वर्ग संख्याओ के गुणधर्म :-

संख्या	हल ( भुजा x भुजा )	वर्ग
1	1 x 1	1
2	2 x 2	4
3	3 x 3	9
4	4 x 4	16
5	5 x 5	25
6	6 x 6	36
7	7 x 7	49
8	8 x 8	65
9	9 x 9	81
10	10 x 10	100
11	11 x 11	121
12	12 x 12	144
13	13 x 13	169
14	14 x 14	196
15	15 x 15	225
16	16 x 16	256
17	17 x 17	289
18	18 x 18	324
19	19 x 19	361
20	20 x 20	400
21	21 x 21	441
22	22 x 22	484
23	23 x 23	529
24	24 x 24	576
25	25 x 25	625
26	26 x 26	676
27	27 x 27	729
28	28 x 28	784
29	29 x 29	841
30	30 x 30	900
35	35 x 35	1225
40	40 x 40	1600
45	45 x 45	2025
50	50 x 50	2500
100	100 x 100	10000

निम्न संख्याएं पूर्ण वर्ग संख्याएँ है या नही ?
1. 1257
2. 24553
3. 9718
4. 23442
5. 1469
6. 1061

हल ( 1 ) :- 1257 पूर्ण वर्ग संख्या नही है क्योकि इसमें इकाई का अंक 7 हैअर्थात् जिस संख्या का इकाई का अंक 0 , 1 , 4 , 5 , 6 या 9 हो वह पूर्ण वर्ग संख्या होती है तथा जिस संख्या का इकाई का अंक 2 , 3 , 7 या 8 हो वह पूर्ण वर्ग संख्या नही होती है

हल ( 2 ) :- 24553 पूर्ण वर्ग संख्या नही है क्योकि इसमें इकाई का अंक 3 हैअर्थात् जिस संख्या का इकाई का अंक 0 , 1 , 4 , 5 , 6 या 9 हो वह पूर्ण वर्ग संख्या होती है तथा जिस संख्या का इकाई का अंक 2 , 3 , 7 या 8 हो वह पूर्ण वर्ग संख्या नही होती है

हल ( 3 ) :- 9718 पूर्ण वर्ग संख्या नही है क्योकि इसमें इकाई का अंक 7 हैअर्थात् जिस संख्या का इकाई का अंक 0 , 1 , 4 , 5 , 6 या 9 हो वह पूर्ण वर्ग संख्या होती है तथा जिस संख्या का इकाई का अंक 2 , 3 , 7 या 8 हो वह पूर्ण वर्ग संख्या नही होती है

हल ( 4 ) :- 23442 पूर्ण वर्ग संख्या नही है क्योकि इसमें इकाई का अंक 7 हैअर्थात् जिस संख्या का इकाई का अंक 0 , 1 , 4 , 5 , 6 या 9 हो वह पूर्ण वर्ग संख्या होती है तथा जिस संख्या का इकाई का अंक 2 , 3 , 7 या 8 हो वह पूर्ण वर्ग संख्या नही होती है

हल ( 5 ) :- 1469 पूर्ण वर्ग संख्या है क्योकि इसमें इकाई का अंक 7 हैअर्थात् जिस संख्या का इकाई का अंक 0 , 1 , 4 , 5 , 6 या 9 हो वह पूर्ण वर्ग संख्या होती है तथा जिस संख्या का इकाई का अंक 2 , 3 , 7 या 8 हो वह पूर्ण वर्ग संख्या नही होती है

हल ( 6 ) :- 1061 पूर्ण वर्ग संख्या है क्योकि इसमें इकाई का अंक 7 हैअर्थात् जिस संख्या का इकाई का अंक 0 , 1 , 4 , 5 , 6 या 9 हो वह पूर्ण वर्ग संख्या होती है तथा जिस संख्या का इकाई का अंक 2 , 3 , 7 या 8 हो वह पूर्ण वर्ग संख्या नही होती है

बिना गुणा किए इकाई का अंक ज्ञात करना :-

संख्या में इकाई का अंक	संख्या के वर्ग में इकाई का अंक
0	0
1 या 9	1
2 या 8	4
5	5
4 या 6	6
3 या 7	9
Note :- किसी भी संख्या के वर्ग में इकाई का अंक कभी भी 2 , 3 , 7 , 8 नही हो सकते है

उदाहरण ( 1 ) :- जिन संख्याओ में इकाई का अंक 1 व 9 होता है उनका वर्ग करने पर प्राप्त संख्या का इकाई का 1 प्राप्त होता है

अंक	वर्ग
1	1
9	81
11	121
19	361
21	441
29	841
31	961

उदाहरण ( 2 ) :- जिस संख्या का वर्ग 6 होता है उस संख्या का इकाई का अंक 4 एवं 6 होता है

वर्ग	अंक
16	4
36	6
196	14
256	16

बिना गुणाखंड प्रक्रिया द्वारा , निम्नलिखित संख्या का वर्ग करने पर इकाई का अंक ज्ञात करो ?

1. 2244
2. 26389
3. 25477
4. 99520

हल ( 1 ) :- उपरोक्त टेबल से ज्ञात है कि यदि किसी संख्या में इकाई का अंक 4 है तो इसका वर्ग का इकाई का अंक 6 होगा

हल ( 2 ) :- उपरोक्त टेबल से ज्ञात है कि यदि किसी संख्या में इकाई का अंक 9 है तो इसका वर्ग का इकाई का अंक 1 होगा

हल ( 3 ) :- उपरोक्त टेबल से ज्ञात है कि यदि किसी संख्या में इकाई का अंक 7 है तो इसका वर्ग का इकाई का अंक 9 होगा

हल ( 4 ) :- उपरोक्त टेबल से ज्ञात है कि यदि किसी संख्या में इकाई का अंक 0 है तो इसका वर्ग का इकाई का अंक 0 होगा

दो क्रमागत वर्ग संख्याओ के बीच अपूर्ण वर्ग संख्याएँ :-

किन्ही दो क्रमागत प्राकृत संख्याओ n तथा n+1 के वर्ग के बीच 2n संख्याएँ होती है जो पूर्ण वर्ग नही होती है
दूसरे शब्दों में कहा जाए तो n तथा n+1 के वर्गो के अंतर से 1 कम, अपूर्ण वर्ग संख्याएँ प्राप्त होती है

उदाहरण के तौर पर , दो क्रमागत संख्या 2 व 3
2 का वर्ग = 4
3 का वर्ग = 9
2 व 3 के वर्गो का अंतर = 9 - 4 = 5
दिया गया है कि प्राप्त संख्या वर्गो के अंतर से एक कम होती है
अत: 5 - 1 = 4
अत: 2 व 3 के वर्गो के मध्य प्राप्त चार संख्याएँ - 5 , 6 , 7 , 8

सूत्र की सहायता से , दो क्रमागत संख्या 2 व 3
( n व n+1 ) = ( 2 व 2+1 )
दिया है n = 2
तब 2 व 3 के वर्गो के मध्य प्राप्त चार संख्याओ की संख्या :- 2n = 2(2) = 4
अत: 2 व 3 के वर्गो के मध्य प्राप्त चार संख्याएँ - 5 , 6 , 7 , 8

पाइथागोरस त्रिक :-

प्रत्येक प्राकृत संख्या m > 1 के लिए 2m , m² - 1 और m² + 1 से एक पाइथागोरस त्रिक बनती है

उदाहरण 1 :- एक पाइथागोरस त्रिक लिखिए जिसकी सबसे छोटी संख्या 8 है ?
m² - 1 = 8
m² = 8 + 1
m = 3
इसलिए 2m = 2 x 3 = 6
m² + 1 = 3² + 1 = 10 अत: 6 , 8 , 10 एक त्रिक है लेकिन 8 सबसे छोटी संख्या नही है
इसलिए 2m = 8
m = 4
m² - 1 = 16 - 1 = 15
m² + 1 = 16 + 1 = 17

योग संक्रिया किए बिना योगफल ज्ञात कीजिए ?

1. 1+3+5+7+9
विषम संख्या के जोड़ से : 1+3+5+7+9 = 5 विषम संख्या का जोड़ = (5)² = 25

2. 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
विषम संख्या के जोड़ से : 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 = 10 विषम संख्या का जोड़ = (10)² = 100

3. 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23
विषम संख्या के जोड़ से : 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23 = 12 विषम संख्या का जोड़ = (12)² = 144

संख्याओ का वर्ग ज्ञात करना :-

संख्याओ का वर्ग ज्ञात करने के सूत्र :-
1. ( a + b )² = a² + b² + 2ab
2. ( a - b )² = a² + b² - 2ab

उदाहरण के तौर पर :- 23 का वर्ग
23 = ( 20 + 3 )²
= (20)² + (3)² + 2.20.3
= 400 + 9 + 120
= 529

उदाहरण के तौर पर :- 49 का वर्ग
49 = ( 50 - 1 )²
= (50)² + (1)² - 2.50.1
= 2500 + 1 - 100
= 2401

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घन एवं घनमूल ( Cube and Cubic Root )
बेलन / खोखले बेलन के सूत्र
घन के सूत्र , गुण एवं नियम ( cube formula )
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