औसत के नियम,सूत्र एवं प्रश्नोत्तरी | Average niyam,sutra(formula) and Questions

औसत :-

दी गई राशियों का कुल योग तथा राशियों की कुल संख्या के अनुपात को औसत कहते है | औसत को "माध्य" या "माध्यमान" भी कहा जाता है

औसत पर आधारित महत्वपूर्ण सूत्र तथा नियम :-

सूत्र/नियम -1. राशियों का कुल योग = औसत x राशियों की कुल संख्या

सूत्र/नियम -2. औसत (A) =

राशियों का कुल योग / राशियों की कुल संख्या

सूत्र/नियम -3.सही औसत (A) =

राशियों का योग - गलत आँकड़ा + सही आँकड़ा / सही राशियों की संख्या

सूत्र यदि दी गई राशियां (x) किसी निश्चित आवृति (A) के साथ हो तो औसत
=

A₁x₁ + A₂x₂ + ..... + A_nx_n / x₁ + x₂ + ..... + x_n

जहाँ A₁ , A₂ , A₃ ..... A_n आवृतियां है

सूत्र/नियम -4. प्रथम n प्राकृतिक संख्याओ का योग =

n (n+1) / 2

1+2+3+4+5 ..... + n =

n (n+1) / 2

सूत्र/नियम -5. प्रथम n प्राकृतिक संख्याओ का औसत =

n+1 / 2

1 + 2 + 3 + 4 + 5 ..... + n / n

n+1 / 2

सूत्र/नियम -6. प्रथम n प्राकृतिक संख्याओ के वर्गो का योग =

n(n+1)(2n+1) / 6

1² + 2² + 3² + 4² + 5² ..... + n² =

n(n+1)(2n+1) / 6

सूत्र/नियम -7. प्रथम n प्राकृतिक संख्याओ के वर्गो का औसत =

(n+1)(2n+1) / 6

1² + 2² + 3² + 4² + 5² ..... + n² / n

(n+1)(2n+1) / 6

सूत्र/नियम -8. प्रथम n प्राकृतिक संख्याओ के घनों का योग = [

n(n+1) / 2

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ ..... + n³ = [

n(n+1) / 2

सूत्र/नियम -9. प्रथम n प्राकृतिक संख्याओ के घनों का औसत =

n(n+1)² / 4

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ ..... + n³ / n

n(n+1)² / 4

सूत्र/नियम -10. प्रथम n विषम प्राकृतिक संख्याओ का योग = n²

सूत्र/नियम -11. प्रथम n विषम प्राकृतिक संख्याओ का औसत = n

सूत्र/नियम -12. प्रथम n सम प्राकृतिक संख्याओ का योग = n(n+1)

सूत्र/नियम -13. प्रथम n सम प्राकृतिक संख्याओ का औसत = n+1

सूत्र/नियम -14. किसी लगातार संख्याओ जैसे - a,b,c ..... n का औसत =

a + n / 2

सूत्र/नियम -15. संख्या 'x' के प्रथम n गुणको का औसत =

x(1 + n) / 2

सूत्र/नियम -16. यदि 'n₁' संख्याओ का औसत 'a₁' है तथा 'n₂ संख्याओ का औसत 'a₂' तो कुल संख्याओ n₁ तथा n₂ का औसत होगा :-
औसत =

n₁a₁ + n₂a₂ / n₁ + n₂

सूत्र/नियम -17. यदि A, P से Q तक x किमी./घंटा की चाल से जाता है तथा Q से P तक y किमी./घंटा की चाल से वापस आता है , तो पूरी यात्रा में औसत चाल क्या है ?
औसत चाल =

2xy / x + y

या

कुल दूरी / कुल समय

सूत्र/नियम -18. यदि एक दूरी को तीन विभिन्न चालों क्रमश: a किमी./घंटा b किमी./घंटा तथा c किमी./घंटा द्वारा तय किया जाता है , तो कुल यात्रा की औसत चाल क्या है ?
औसत चाल =

3abc / ab + bc + ca

किमी./घंटा

सूत्र/नियम -19. यदि 'm' संख्याओ का औसत x है तथा इनमे से 'n' संख्याओ का औसत y है (या इसका उल्टा) तो शेष संख्याओ का औसत होगा -
शेष संख्याओ का औसत =

mx - ny / m - n

(यदि m > n)
शेष संख्याओ का औसत =

ny - mx / n - m

(यदि n > m)

सूत्र/नियम -20. तीन संख्याओ में से , पहली संख्या , दूसरी संख्या की 'a' गुनी है , दूसरी संख्या , तीसरी संख्या की 'b' गुनी है तथा सभी तीनो संख्याओ का औसत x है तो
पहली संख्या =

3ab / 1 + b + ab

x
दूसरी संख्या = [

3b / 1 + b + ab

x]x
तीसरी संख्या = [

3 / 1 + b + ab

सूत्र/नियम -21. (n+1) संख्याओ में से पहली n संख्याओ का औसत 'F' है तथा अंतिम n संख्याओ का औसत 'L' है | पहली संख्या 'ƒ' है तथा अंतिम संख्या 'l' है तो
ƒ - l = n(F - L)

सूत्र/नियम -22. 't' वर्ष पहले , परिवार के 'N' सदस्यों की आयु का औसत 'T' वर्ष था | यदि इस दौरान 'n' बच्चे परिवार में जन्म लेते है तो भी औसत (वर्तमान) समान रहता है तो
n बच्चों का वर्तमान आयु = n x T - N x t

सूत्र/नियम -23. N व्यक्तियों के समूह में 'T' वर्ष आयु के एक व्यक्ति के स्थान पर नए व्यक्ति आ जाते है तो आयु का औसत 't' वर्ष बढ़ जाता है , तब
नए व्यक्ति का आयु = T + N x t :- यदि आयु का औसत 't' वर्ष घट जाता है , तो नए व्यक्ति की आयु = T - N x t

सूत्र/नियम -24. N विद्यार्थियों के एक समूह की आयु का औसत 'T' वर्ष है | यदि 'n' विद्यार्थी और इस समूह में आ गए तो समूह की औसत आयु 't' वर्ष बढ़ गयी , तो
नए विद्यार्थियों की औसत आयु = T + [

N / n

+ 1 ] t
यदि नए विद्यार्थियों के आने से समूह की औसत आयु 't' वर्ष घट जाता है , तो
नए विद्यार्थियों की औसत आयु = T - [

N / n

+ 1 ] t

सूत्र/नियम -25. 'n' राशियों का औसत 'x' है यदि इनमे से प्रथम 'm' राशियों का औसत 'y' है तथा अंतिम 'm' राशियों का औसत 'z' है तो m वीं राशि = m(y + z) - nx
(m + 1) वां राशि = nx - m(y + z)

सूत्र/नियम -26. 'n' व्यक्तियों का औसत आयु ( या ऊँचाई ) 'x' वर्ष है तथा इसमें से 'm' व्यक्ति चले गए , जिनकी औसत आयु ( या ऊँचाई ) 'y' वर्ष थी और इतनी ही संख्या में नए व्यक्ति आ गए , जिनकी औसत आयु ( या ऊँचाई ) 'z' वर्ष है | अब 'n' व्यक्तियों को नयी औसत आयु ( या ऊँचाई ) क्या होगा ?
औसत आयु ( ऊँचाई) = [ x -

m(y - z) / n

] वर्ष (या सेमी. )

सूत्र/नियम -27. गेंदबाज का औसत =

कुल रनों की संख्या / विकेटों की संख्या

कुल रनों की संख्या = औसत ( A ) x y , जहाँ y = विकेटों की संख्या

सूत्र/नियम -28. यदि किसी समूह में , एक नया सदस्य किसी सदस्य का स्थान लेता है , तो नये व्यक्ति (सदस्य) की उम्र = (प्रतिस्थापित सदस्य) + xn
जहाँ, x = वृद्धि(+) या कमी(-) (औसत में कमी /वृद्धि) तथा n = सदस्यों की संख्या

सूत्र/नियम -29. यदि एक नया सदस्य समूह में जोड़ा जाता है , तो नये सदस्य की आयु ( या आय ) = औसत + x(n+1)
जहाँ x = औसत आयु ( या आय) में वृद्धि (+) या कमी(-) n = सदस्यों की संख्या

सूत्र/नियम -30. यदि एक सदस्य समूह छोड़ता है , तो छोड़े हुए सदस्य की आयु ( या आय ) = औसत + x(n-1)
जहाँ x = औसत आयु ( या आय) में वृद्धि (+) या कमी(-) n = सदस्यों की संख्या

सूत्र/नियम -31. प्रथम n पूर्ण संख्याओ का औसत =

n / 2

सूत्र/नियम -32. प्रथम n सम संख्याओ के वर्गो का औसत =

2(n+1)(2n+1) / 3

सूत्र/नियम -33. प्रथम n विषम संख्याओ के वर्गो का औसत =

n(n+2) / 3

सूत्र/नियम -34. यदि दो क्रमागत पदों या संख्याओ का अंतर समान हो तो
औसत =

प्रथम संख्या + अंतिम संख्या / 2

सूत्र/नियम -35. यदि दिए गए आंकड़ो में किसी संख्या m का गुणा किया जाए तो उन आंकड़ो के औसत में भी m का गुणा किया जाएगा

सूत्र/नियम -36. यदि दिए गए आंकड़ो में किसी संख्या m का भाग किया जाए तो उन आंकड़ो के औसत में भी m का भाग किया जाएगा

सूत्र/नियम -37. यदि दिए गए सभी आंकड़ो या राशियों में x की वृद्धि की जाए तो उनके औसत में भी x की वृद्धि होती है

सूत्र/नियम -38. यदि दिए गए सभी आंकड़ो या राशियों में x की कमी की जाए तो उनके औसत में भी x की कमी होती है

सूत्र/नियम -39. 1 से n तक की सम संख्याओ का औसत =

n + 2 / 2

सूत्र/नियम -40. 1 से n तक की विषम संख्याओ का औसत =

n + 1 / 2

औसत ( Average) Question and Answer :-

1. पहली तीन संख्याओ का औसत चौथी संख्या का दुगुना है | यदि उन सभी चारों संख्याओ का औसत 12 हो तो चौथी संख्या ज्ञात कीजिए 16 48/7✅ 20 18/7

2. A,B और C का औसत वजन 45 किग्रा है यदि A और B का औसत वजन 40 किग्रा हो और B और C का 43 किग्रा हो , तो B का वजन (किग्रा में ) कितना होगा ? 20 26 31✅ 17

3. A और B की औसत आय 200 रुपए है और C एवं D की औसत आय 250 रुपए है | A,B,C और D की औसत आय कितनी है ? 106.25 रुपए 125 रुपए 200 रुपए 225 रुपए✅

4. 20 संख्याओ का औसत 30 तथा अन्य 30 संख्याओ का औसत 50 है | सभी संख्याओ का औसत क्या है ? 42✅ 47 44 45

5. यदि x,y और y,z के औसत के बीच अंतर 12 है तो x और z के बीच अंतर क्या होगा ? 24✅ 48 12 6

6. तीन संख्याओ का जिनमे सबसे बड़ी संख्या 16 है , औसत 12 है यदि लघुत्तम संख्या बड़ी संख्या की आधी हो तो शेष संख्या क्या होगा ? 12✅ 8 14 10

7. 11 संख्याओ की औसत 7 है यदि प्रत्येक संख्या दुगुनी हो जाए , तो संख्याओ की नयी औसत क्या होगी ? 20 14✅ 25 30

8. 100 और 200 के बीच के सभी संख्याओ का औसत क्या है , जो 13 से विभाज्य हो ? 147.5 145.5 143.5 149.5✅

9. 7 के प्रथम 7 अप्वर्त्यो का औसत क्या है ? 7 14 21 28✅

10. 15 संख्याओ का औसत 20 है तथा प्रथम पांच संख्याओ का औसत 18 है शेष संख्याओ का औसत क्या है ? 21✅ 25 28 30

11. 10 संख्याओ का औसत 14 है यदि प्रत्येक संख्या को 6 से गुणा किया जाए , तो नया औसत क्या होगा ? 70 84✅ 56 92

12. दो संख्याओ का औसत 10 है और उनका गुणनफल 96 है दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए ? 3, 32 12, 8✅ 1, 96 24, 4

13. यदि d एवं e तथा e एवं h के औसत के मध्य अंतर 19 है तो d तथा h के मध्य अंतर क्या होगा ? 38✅ 22 9 19

14. आठ क्रमिक संख्याओ का औसत 6.5 है उनमे से सबसे छोटी तथा सबसे बड़ी संख्याओ का औसत होगा ? 4 6.5✅ 7.5 9

15. पहली 10 सम संख्याओ का औसत क्या है ? 12 10 13 11✅

16. यदि 6 क्रमिक सम संख्याओ का औसत 25 हो , तो उनमे सबसे बड़ी तथा सबसे छोटी संख्या का अंतर कितना होगा ? 8 10✅ 12 14

17. 100 से कम सभी विषम संख्याओ का औसत होगा ? 49.5 50✅ 50.5 51

18. सात लगातार आने वाले धन पूर्णांको का औसत 26 है इन पूर्णांको में सबसे छोटा है ? 21 23✅ 25 26

19. उन प्रथम छ: (धनात्मक) विषम संख्याओ का औसत कितना है , जिनमे प्रत्येक 7 द्वारा विभाज्य हो ? 42✅ 43 47 49

20. प्रथम दस अभाज्य संख्याओ का औसत बताइए ? 10.1 10 12.9✅ 13

21. 3 के पहले नौ समाकल गुणजों का औसत है ? 21 12 15✅ 18

22. 5 क्रमिक विषम धनात्मक पूर्णांक संख्याओ का औसत 9 है उनमे से सबसे छोटा क्या है ? 5✅ 3 1 7

23. यदि A,B,C,D चार लगातार विषम पूर्ण संख्याओ का औसत 42 है , तो B एवं D का गुणनफल क्या होगा ? 1860 1890 1845✅ 1677

24. यदि आठ अनुक्रमित सम संख्याओ का औसत 93 है , तो उनमे वृहत्तम संख्या क्या होगी ? 100✅ 86 102 98

25. 2 और 22 के बीच सभी विषम पूर्णांको का औसत क्या होगा ? 14 12✅ 13 11

26. 6 और 50 के बीच 5 से विभाज्य सभी संख्याओ का औसत है ? 27.5✅ 30 28.5 22

27. 7 क्रमागत संख्याओ का औसत 20 है इनमे से सबसे बड़ी संख्या क्या है ? 20 23✅ 24 26

28. 25 क्रमागत विषम पूर्णांको का औसत 55 है इन पूर्णांको की सर्वोच्च संख्या क्या है ? 79✅ 105 155 109

29. 1 और 20 के बीच अभाज्य संख्याओ का औसत क्या है ? 9 77/8✅ 81/8 8

30. प्रथम 11 अभाज्य संख्याओ का औसत क्या है ? 11.81 12.72 14.54✅ 13.61

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