
इस लेख में हमारे द्वारा बहुपद की परिभाषा,सूत्र,प्रकार एवं उदाहरण और महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी दिए गए है जो कक्षा 8 से 10,कक्षा 9 NCERT बहुपद notes in hindi तथा 11 एवं 12 के लिए अतिमहत्वपूर्ण है | कक्षा 8 से 10 NCERT के लिए तो यह लेख बहुत ही फायदेमंद है | आप हमे नीचे comment करके बता सकते है कि आपको यह लेख कैसा लगा |
{tocify} $title={Table of Contents}Bahupad ki paribhasha , udaharan, sutra , prakar, question and answer :-
बहुपद क्या है / बहुपद किसे कहते है ?
बहुपद की परिभाषा के अनुसार , चर एवं अचर पदों के समूह से बनने वाले व्यंजक को बहुपद कहते है |
किसी बहुपदीय व्यंजक में धनात्मक तथा ऋणात्मक चिन्ह दोनों शामिल हो सकते है |
Bahupad Meaning in English - Polynomial
Polynomial Meaning/translate in Hindi - बहुपद
बहुपद के उदाहरण ( Bahupad Examples ) :-
4𝓍 + 3
2𝓍2 + 3𝓍 + 5 आदि |
बहुपद की घात ( Degree of Polynomial ) किसे कहते है ? :-
बहुपद की घात की परिभाषा के अनुसार, चर 𝓍 के बहुपद P(𝓍) में 𝓍 की उच्चतम घात ( Power ) , बहुपद की घात ( Degree) कहलाती है |
उदाहरण :- 5𝓍 + 3 में चर 𝓍 की उच्चतम घात 1 है |
3𝓍3 + 4𝓍 + 5 में चर 𝓍 की उच्चतम घात 3 है |
बहुपद का शुन्यक ( Zeros) किसे कहते है ?
यदि P(𝓍) ; 𝓍 में कोई बहुपद है और K कोई वास्तविक संख्या है , तो P(𝓍) में 𝓍 को k से प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त वास्तविक संख्या P(𝓍) का 𝓍 = k पर मान कहलाती है और इसे P(k) से निरुपित करते है |
अधिक व्यापक रूप में , एक वास्तविक संख्या k बहुपद P(𝓍) की शुन्यक कहलाती है यदि P(𝓍) = 0 हो |
साधारण शब्दों में कहा जाए तो , वह वास्तविक संख्या जिसके लिए किसी बहुपद का मान शून्य प्राप्त हो , उस वास्तविक संख्या को बहुपद का शून्यक कहते है |
उदाहरणार्थ :- 4𝓍 - 8
बहुपद की पहचान कैसे की जाती है ?
बहुपद की पहचान करने के उदाहरण :-
बहुपद के प्रकार ( Bahupad ke prakar) :-
यहाँ हम जानेगें की बहुपद कितने प्रकार के होते है -
बीजीय बहुपद (Algebraic Polynomial) किसे कहते है ?
बीजीय बहुपद की परिभाषा के अनुसार , चर एवं अचर बहुपद के सम्मिलित रूप को बीजीय बहुपद कहते है |
बीजीय बहुपद के उदाहरण :-
बीजीय बहुपद के प्रकार :-
बीजीय बहुपद मुख्यतः दो प्रकार के होते है जिनका परिभाषा एवं उदाहरण सहित वर्णन निम्न प्रकार है -
(1) अचर बहुपद (Achar Bahupad) :-
बहुपद का वह पद जिसका मान हमेशा स्थिर रहें , उसे अचर बहुपद कहते है |
अचर बहुपद के उदाहरण :- बहुपद 𝓍 + 5 में 5 एक अचर बहुपद है क्योकि इसका मान सदैव स्थिर रहता है |
(2) चर बहुपद (Char Bahupad) :-
बहुपद का वह पद जिसका मान हमेशा परिवर्तित होता रहता है इसे चर बहुपद कहते है |
चर बहुपद के उदाहरण :-
(2) घात के आधार पर बहुपद :-
बहुपद को घात के आधार पर मुख्यतः चार भागों में बांटा गया है जिनका परिभाषा एवं उदाहरण सहित वर्णन निम्न प्रकार है -
1. रैखिक बहुपद ( Linear Polynomial) किसे कहते है ?
रेखिक बहुपद की परिभाषा के अनुसार , वह बहुपद जिसमे चर की अधिकतम घात 1 हो , रैखिक बहुपद कहलाता है |
रैखिक बहुपद के उदाहरण :-
रैखिक बहुपद का व्यापक रूप या मानक रूप :-
रैखिक बहुपद में शून्यको की संख्या :-
रैखिक बहुपद का केवल एक ही शुन्यक प्राप्त होता है |
रैखिक बहुपद का शून्यक (Zeros) का सूत्र :-
(2) द्विघात बहुपद ( Quadratic Polynomial) किसे कहते है ?
द्विघात बहुपद की परिभाषा के अनुसार , वह बहुपद जिसमें चर की अधिकतम घात 2 हो , द्विघात बहुपद कहलाता है |
द्विघात बहुपद के उदाहरण :-
द्विघात बहुपद का मानक रूप या व्यापक रूप :-
a𝓍2 + b𝓍 + c
द्विघात बहुपद के शुन्यंको की संख्या :-
द्विघात बहुपद में शुन्यांकों की संख्या 2 होती है जिन्हें α तथा β से व्यक्त किया जाता है |
द्विघात बहुपद के शुन्यंको का योग का सूत्र :-
द्विघात बहुपद के शुन्यंको का गुणनफल का सूत्र :-
द्विघात बहुपद का सूत्र ( Dwighat bahupad formula in hindi ) :-
यदि द्विघात बहुपद के शुन्यकों का योग (α + β) तथा शुन्यंको का गुणनफल (α.β) ज्ञात हो तो द्विघात बहुपद निम्न सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है -
(3) त्रिघात बहुपद ( Cubic Polynomial ) किसे कहते है ?
त्रिघात बहुपद की परिभाषा के अनुसार , वह बहुपद जिसमें चर की अधिकतम घात 3 हो , त्रिघात बहुपद कहलाता है |
त्रिघात बहुपद के उदाहरण :-
त्रिघात बहुपद का मानक रूप या व्यापक रूप :-
तथा a ≠ 0
जब हम त्रिघात बहुपद a𝓍3 + b𝓍2 + c𝓍 + d को शून्य के बराबर रख देते है तो हमें त्रिघात बहुपद प्राप्त होता है |
त्रिघात बहुपद के शुन्यंको की संख्या :-
त्रिघात बहुपद में शुन्यांकों की संख्या 3 होती है जिन्हें α,β तथा γ से व्यक्त किया जाता है |
त्रिघात बहुपद के शुन्यंको का योग का सूत्र :-
त्रिघात बहुपद के शुन्यंको का गुणनफल का सूत्र :-
त्रिघात बहुपद का सूत्र ( Trighat Bahupad Formula) :-
यदि हमें त्रिघात बहुपद के तीनों शुन्यक α , β तथा ज्ञात हो तो हम त्रिघात बहुपद निम्न सूत्र से प्राप्त कर सकते है -
(4) शून्य बहुपद (Zero Polynomials) किसे कहते है ?
शून्य बहुपद की परिभाषा के अनुसार , बहुपद p(𝓍) = 0 को शून्य बहुपद कहते है | शून्य बहुपद की घात बतायी नही जाती है |
सामान्यत: इसे 0 बहुपद कहा जाता है |
पदों के आधार पर बहुपद का वर्गीकरण :-
पद के आधार पर बहुपद मुख्यतः तीन प्रकार के होते है जिनका परिभाषा एवं उदाहरण सहित वर्णन निम्न प्रकार है -
(1) एकपदी बहुपद ( Monomial) किसे कहते है ?
एकपदी बहुपद की परिभाषा के अनुसार , वह बहुपद जिसमें पद की संख्या 1 हो , एकपदी बहुपद कहलाता है |
एकपदी बहुपद के उदाहरण :-
𝓍 , 𝓍3 , 5 आदि |
(2) द्विपदी बहुपद ( Binomial) किसे कहते है ?
द्विपदी बहुपद की परिभाषा के अनुसार , वह बहुपद जिसमें पदों की संख्या 2 हो , द्विपदी बहुपद कहलाता है |
द्विपदी बहुपद के उदाहरण :-
(3) त्रिपदी बहुपद ( Trinomial ) किसे कहते है ?
त्रिपदी बहुपद की परिभाषा के अनुसार , वह बहुपद जिसमें पदों की संख्या तीन हो , त्रिपदी बहुपद कहलाता है |
त्रिपदी बहुपद के उदाहरण :-
बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथम :-
विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार, दिए गए बहुपद p(𝓍) और शुन्येतर बहुपद g(𝓍) के लिए दो ऐसे बहुपदों q(𝓍) तथा r(𝓍) का अस्तित्व है कि -
बहुपद की भाग विधि :-
इसे बहुपद वाला भाग भी कहते है |
यहाँ हम बहुपदों के विभाजन को एक उदाहरण की सहायता से समझेगें और यह भी समझेंगे कि बहुपद का भाग कैसे करे |
चरण - I :- सर्वप्रथम भाजक एवं भाज्य के पदों को घटाती हुई घातों के क्रम में व्यवस्थित करते है |
चरण - II :- भाज्य के प्रथम पद ( 2𝓍2) को भाजक के प्रथम पद ( 𝓍 ) से भाग देंगे ( 2𝓍2 / 𝓍 = 2𝓍 ) प्राप्त भागफल 2𝓍 को सम्पूर्ण भाजक से गुणा करेंगे |

चरण - III :- अब पुन: -𝓍 + 1 के प्रथम पद ( -𝓍 ) में भाजक के प्रथम पद ( 𝓍 ) से भाग करेंगे ( -𝓍/y = -1)
प्राप्त भागफल -1 को सम्पूर्ण भाजक से गुणा करेंगे |

बहुपद से सम्बंधित प्रश्नोतरी ( Bahupad Question and Answer ) :-
(1) नीचे दिए गए रैखिक बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए |
(1) 𝓍 + 5
रैखिक बहुपद 𝓍 + 5 का शून्यक = -( अचर पद ) / 𝓍 का गुणांक
(2) 4𝓍 + 3
रैखिक बहुपद 4𝓍 + 3 का शून्यक = -b/a = -3/4
(3) 8𝓍 + 14
रैखिक बहुपद 8𝓍 + 14 का शुन्यक = -b/a = -14/8 = -7/4
(4) 2𝓍 + 5
रैखिक बहुपद 2𝓍 + 5 का शुन्यक = -b/a = -5/2
(2) नीचे दिए गए द्विघात बहुपदों के शुन्यक ज्ञात कीजिए -
बहुपद Y2 - 5Y + 6 के गुणनखंड कीजिए -
बहुपद 12𝓍2 - 7𝓍 + 1 के गुणनखंड कीजिए |
नीचे दिए गए बहुपद की घात लिखिए |
1. 5𝓍3 + 4𝓍2 + 7𝓍
बहुपद 5𝓍3 + 4𝓍2 + 7𝓍 की घात = 3
2. 𝓍2 + 2𝓍 + 1
बहुपद 𝓍2 + 2𝓍 + 1 की घात = 2
शेषफल प्रमेय ( Remainder Theorem ) किसे कहते है ?
शेषफल प्रमेय की परिभाषा के अनुसार , माना कि P(𝓍) एक से अधिक या एक के बराबर घात वाला एक बहुपद है और मानाकि a कोई वास्तविक संख्या है यदि P(𝓍) को रैखिक बहुपद (𝓍 - a) से भाग दिया जाए , तो शेषफल P(a) होता है |
शेषफल प्रमेय पर आधारित उदाहरण :-
𝓍4 + 𝓍3 + 𝓍2 + 𝓍 + 1 को ( 𝓍 - 1 ) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात कीजिए |
बहुपद 𝓍 - 1 का शून्यक 1 है |
तब
गुणनखंड प्रमेय ( Factor Theorem) किसे कहते है ?
गुणनखंड प्रमेय की परिभाषा के अनुसार , यदि P(𝓍) घात n 1 वाला एक बहुपद हो और a कोई वास्तविक संख्या हो , तो -
𝓍 - a , P(𝓍) का एक गुणनखंड होता है यदि P(a) = 0 हो , और
P(a) = 0 होता है , यदि ( 𝓍 - a) , P(𝓍) का एक गुणनखंड हो |
गुणनखंड प्रमेय पर आधारित उदाहरण :-
जाँच कीजिए कि 𝓍 + 2 , बहुपद 2𝓍 + 4 का एक गुणनखंड है या नही ?
𝓍 + 2 का शून्यक -2 है |
तब P(𝓍) = 2𝓍 + 4
P(-2) = 2(-2) + 4 = 0
अत: गुणनखंड प्रमेय के अनुसार 𝓍 + 2 बहुपद 2𝓍 + 4 का एक गुणनखंड है |
महत्वपूर्ण बीजीय सर्वसमिकाएँ (सूत्र) :-
1. (𝓍 + y)2 = 𝓍2 + 2𝓍y + y2
2. (𝓍 - y)2 = 𝓍2 - 2𝓍y + y2
3. 𝓍2 - y2 = (𝓍 - y) (𝓍 + y)
4. (𝓍 + a) (𝓍 + b) = 𝓍2 + (a + b)𝓍 + ab
5. (𝓍 + y + z)2 = 𝓍2 + y2 + z2 + 2𝓍y + 2yz + 2z𝓍
6. (𝓍 + y)3 = 𝓍3 + y3 + 3𝓍y(𝓍 + y)
7. (𝓍 - y)3 = 𝓍3 - y3 - 3𝓍y(𝓍 - y)
8. 𝓍3 + y3 + z3 - 3𝓍yz = ( 𝓍 + y + z) ( 𝓍2 + y2 + z2 - 𝓍y - yz - z𝓍 )
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