रैखिक समीकरण की परिभाषा , प्रकार , व्यापक हल , व्यापक हल ज्ञात करने की विधियाँ

इस लेख में हमारे द्वारा रैखिक समीकरण की परिभाषा,सूत्र,प्रकार एवं उदाहरण और महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी दिए गए है जो कक्षा 8 से 10,कक्षा 10 NCERT रैखिक समीकरण notes in hindi तथा 11 एवं 12 के लिए अतिमहत्वपूर्ण है | कक्षा 8 से 10 NCERT के लिए तो यह लेख बहुत ही फायदेमंद है | आप हमे नीचे comment करके बता सकते है कि आपको यह लेख कैसा लगा |

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Raikhik samikaran ki paribhasha , udaharan, sutra , prakar, vyapak hal gyat karne ki vidhiyan :-

रैखिक समीकरण क्या है / रैखिक समीकरण किसे कहते है ?

रैखिक समीकरण की परिभाषा के अनुसार , वह समीकरण जिसमे चर की अधिकतम घात 1 हो , उसे रैखिक समीकरण कहते है | इसे एक चर में रैखिक समीकरण भी कहतें है |

रैखिक समीकरण का व्यापक रूप या मानक रूप सूत्र -

ax + b = 0 जहाँ a , b → वास्तविक संख्याएँ तथा a ≠ 0

रैखिक समीकरण के उदाहरण ( Raikhik samikaran Examples ) :-

5x + 4 = 0 2x - 7 = 0

1. दो चरों में रैखिक समीकरण किसे कहते है ?

वह समीकरण जिसको ax + by + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है , जहाँ a , b और c वास्तविक संख्याएँ है और a व b दोनों शून्य नही है , दो चरों x और y में एक रैखिक समीकरण कहलाता है |

दो चरों x और y में रैखिक समीकरण का व्यापक रूप या मानक रूप :-

ax + by + c = 0 जहाँ a , b , c → वास्तविक संख्याएँ तथा a² + b² ≠ 0

दो चरों वाले रैखिक समीकरण के उदाहरण :-

2x + 3y - 7 = 0
9x - 2y + 8 = 0
x + y = 7

दो चरों x और y में रैखिक समीकरण युग्म का व्यापक रूप :-

a₁x + b₁y + c₁ = 0
और a₂x + b₂y + c₂ = 0
जहाँ a₁ , b₁ , c₁ , a₂ , b₂ , c₂ → सभी वास्तविक संख्याएँ है
और a₁² + b₁² ≠ 0 तथा a₂² + b₂² ≠ 0 है |

रैखिक समीकरण हल करने की विधियाँ :-

1. प्रतिस्थापन विधि
2. विलोपन विधि
3. वज्र - गुणन विधि

रैखिक समीकरण हल करने की विधियाँ :-

यहाँ हम सीखेंगे कि दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म कैसे हल करें और साथ ही हम यह भी जानेगें कि रैखिक समीकरण का हल कैसे ज्ञात किया जाता है |

रैखिक समीकरण हल करने की मुख्यतः तीन विधियाँ है जिनका उदाहरण सहित चरणबद्ध वर्णन निम्न प्रकार है -

1. प्रतिस्थापन विधि :-

इस विधि में एक चर का मान दूसरे चर के पद में व्यक्त करके , रैखिक समीकरण युग्म को हल करने के लिए प्रतिस्थापित किया जाता है , इसलिए इस विधि को प्रतिस्थापन विधि कहते है |

उदाहरण :- प्रतिस्थापन विधि द्वारा निम्न रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए ?

x + 3y = 6 ...........(1)
2x - 3y = 12 ...........(2)

हल :-

चरण - I :- किसी भी एक समीकरण को लेतें है और किसी एक चर को दूसरे के पदों में लिखते है - x + 3y = 6 x = 6 - 3y

चरण - II :- x का यह मान समीकरण (2) में रखने पर
2x - 3y = 12
2(6 - 3y) - 3y = 12
12 - 6y - 3y = 12
12 - 9y = 12
12 - 12 = 9y
y = 0

चरण - III :- y का यह मान समीकरण (1) में रखने पर
x + 3y = 6
x + 3(0) = 6
x = 6 अत: x = 6 तथा y = 0

2. विलोपन विधि :-

वह विधि जिसमें एक चर को विलुप्त कर दिया जाता है उसे विलोपन विधि कहते है |
यह विधि तीनों विधियों में सबसे सरलतम विधि है |

उदाहरण - विलोपन विधि द्वारा निम्न रैखिक समीकरण युग्मों के हल ज्ञात कीजिए x + y = 5 .........(1) 2x - 3y = 4 .........(2)

हल :-

चरण - I :- y के गुणकों को समान करने के लिए समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर 3x + 3y = 5 .........(1) 2x - 3y = 4 ..........(2)

चरण - II :- समीकरण (1) तथा समीकरण (2) को जोड़ने पर (3x + 3y) + (2x - 3y) = 5 + 4
3x + 3y + 2x - 3y = 9
5x = 9
x = 9/5

चरण - III :- x का यह मान समीकरण (1) में रखने पर x + y = 5
9/5 + y = 5
y = 5 - 9/5
y = (25 - 9) / 5
y = 16/5 अत: x = 9/5 तथा y = 16/5

3. वज्र - गुणन विधि :-

इस विधि को हम एक उदाहरण की सहायता से समझेंगे |

उदाहरण - वज्र गुणन विधि द्वारा रैखिक समीकरण युग्मों के हल ज्ञात कीजिए | 2x + 3y = 46
3x + 5y = 74

हल :-

चरण - I :- सर्वप्रथम दोनों समीकरणों को शून्य के बराबर करते है 2x + 3y - 46 = 0 .........(1) 3x + 5y - 74 = 0 .........(2)

चरण - II :- इन समीकरणों को हल करने के लिए हम निम्न प्रकार से चित्र खीचते है -

x / (3)(-74) - (5)(-46)

y / (-46)(3) - (-74)(2)

1 / (2)(5) - (3)(3)

x / -222 + 230

y / -138 + 148

1 / 10 - 9

x / 8

y / 10

1 / 1

अर्थात्

x / 8

1 / 1

और

y / 10

1 / 1

x = 8 और y = 10